La notation scientifique

Comment on fait pour compter jusqu’à beaucoup ?

Attention :
Cet article a pour but de fournir aux personnes qui ne les ont pas les pré-requis conceptuels ou formels à une réflexion que je développe dans un de mes articles. Il n’a pas d’autre prétention que celle d’être clair, intuitif, et autant que faire se peut, court. En espérant qu’il aidera certain.e.s d’entre vous, je vous souhaite une bonne lecture.

Imaginez que vous voulez dire un nombre très grand. Comme soixante-sept millions de milliards de milliards de milliards de milliards. C’est vraiment beaucoup, et ça prend de la place, et puis on est obligé de compter combien de fois on a dit « milliards ». Alors on aimerait bien avoir une manière de dire des chiffres vraiment très petits.

Imaginez que vous vouliez dire un nombre très petit. C’est pareil, vingt-six millionièmes de milliardièmes de milliardièmes de milliardièmes de mètres, c’est énervant à dire. Et puis on ne se rend pas vraiment compte de ce que ça représente, et on a du mal à pouvoir le comparer avec quoi que ce soit.

Alors on a besoin d’un système qui permette d’écrire de manière compacte des nombres très grands, ou inversement très petits.

On peut commencer par remarquer que quand on fait le produit de deux nombres entiers positifs, le produit est supérieur ou égal à chacun des deux nombres. Si on prend ne serait-ce que 12×12, on a 144, ce qui fait un gros écart, et qui va aller en grandissant si on prend des nombres plus grands.

Donc une première manière d’écrire des grands nombres, ce serait de les factoriser en nombres premiers. Par exemple, je peux écrire 8 294 400 comme ceci :

2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×3×3×5×5, ce qui n’est pas très compact, mais le devient davantage en notation par puissances :

2¹²×3²×5²

Un problème survient cependant si je veux écrire un grand nombre qui se trouve être premier :

1 554 136 777 est premier par exemple. Vous aussi, vous avez du mal à vous le représenter ?

Oui, mais, c’est « à peu près un milliard et demi ».

Donc on a envie d’un système d’écriture qui rende compte de cette approximation et qui soit compact. Pour cela, on peut se rendre compte que « un milliard et demi » s’écrit avec beaucoup de zéros :

1 500 000 000

C’est pour ça qu’il semble si « simple », tout ce dont on a à se rappeler, c’est un nombre entre 1 et 10, et un certain nombre de zéros. Donc je peux l’écrire :

1,5×10×10×10×10×10×10×10×10×10 = 1,5×10⁹

Et nous voilà avec ce qu’on nomme « l’écriture scientifique ». Il s’agit d’une notation compacte, d’un nombre entre 1 et 10, et de la spécification d’un nombre de zéros qui le suivent.

Bien souvent, ce ne seront pas vraiment des zéros. Pour l’exemple du nombre premier plus haut, on peut l’écrire :

1,554 136 777×10⁹, mais ici, ce que j’appelais « l’ajout d’un zéro » correspond en fait au décalage de la virgule vers la droite.

De même, si je veux écrire le nombre :

0,000 000 000 000 000 434 678 765 432 456, je peux écrire :

4,43 678 765 432 456×10^-16

En effet, que signifie 10^-1 ? La puissance négative désigne l’inverse, on a donc :

1×10^-1 = 10^-1 = 1/10 = 0,1. Ce qui correspond bien à décaler la virgule d’un rang, cette fois-ci vers la gauche, ce que traduit le signe « moins ».

On s’en sert majoritairement en physique, pour donner un « ordre de grandeur » d’une quantité qu’on n’arrive pas immédiatement à saisir, ou dont on ne souhaite pas connaître les détails numériques. Par exemple, pour vous donner une idée, je vais parler de longueurs :

-Un décimètre :10^-1 m. Un centimètre : 10^-2 m. Un millimètre : 10^-3 m.

-Un cheveu mesure autour de 10^-4 m. C’est un dixième de millimètre.

-Une cellule mesure autour de 10^-6 m. C’est un micromètre, parfois noté µm.

-Un atome d’hydrogène (le plus petit) mesure autour de 10^-10 m. C’est un dixième de nanomètre.

-Les ondes gravitationnelles déforment l’espace, la variation de longueur correspondante est de l’ordre de 10^-18 m. C’est donc cent millions de fois plus petit qu’un atome, lui-même dix milliards de fois plus petit qu’un mètre.

-Dans le domaine de l’infiniment grand, la « taille » (je ne vais pas m’attarder sur ce que cela signifie) du système solaire est de l’ordre de 4×10¹² m.

-La galaxie de la Voie Lactée a un diamètre d’environ 10²¹ m. Elle est donc environ un milliard de fois plus grande que le système solaire.

-On estime la taille de l’univers observable à 13,8 milliards d’années-lumières, c’est-à-dire environ 10²⁶ m. C’est environ un million de fois la Voie Lactée. Et c’est vraiment grand. Et on n’a aucune idée d’à quel point l’univers véritable est plus grand. Tout ce qu’on sait. C’est que c’est vraiment beaucoup plus grand.

Vue d'artiste de la Voie Lactée. Le soleil se trouve dans l'un des bras.